Заочная олимпиада

 Заочное задание в летнюю школу-2017 появится здесь 1 марта 2017 года.

Пока можно посмотреть задание прошедшего года.

Заочная олимпиада Летней школы интенсивного обучения "Интеллектуал"-Якутия-2016

Олимпиада пишется дома. Время на решение ограничено только сроком отправки задания. Можно решить не все пункты в заданиях. Но важно, чтобы ваши решения были хорошо проверены и аккуратно записаны! Можно написать свои гипотезы, даже если их не получается обосновать.

Из заданий 1, 2, 3 надо решать любые два по вашему выбору

Также задание олимпиады можно найти в файле.

Задание 1. Линейные функции.

а) Дан график функции y=kx+b (смотри рисунок). Определите знаки k и b (больше или меньше 0). Ответ обоснуйте.

б) По графику из пункта а) нарисуйте эскиз графика y=bx+k. Можно ли найти абсциссу пересечения этих двух графиков, если их нарисовать в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

 

в) Дан график функции y=-2x+3 и еще три графика (все вместе образуют ромб, смотри рисунок). Напишите функции, соответствующие этим трем графикам. Ответ обоснуйте.

  

г) Даны четыре функции: y=kx+b, y=kx-b, y=mx+b, y=mx-b. Их графики пересекаются и образуют четырехугольник. Определите вид этого четырехугольника и найдите координаты точки пересечения его диагоналей. Подсказка: попробуйте сначала понять ответ на примерах конкретных чисел k, m, b.

Задание 2. Симметрия.

Точки P, Q, R - вершины разностороннего (неравнобедренного) треугольника. Отметьте на плоскости точку S так, чтобы множество точек {P, Q, R, S} имело ось симметрии. Сколькими способами можно это сделать? Перечислите все варианты и постарайтесь объяснить, почему других нет.

Задание 3.  Числа.

Можно ли выписать по кругу несколько различных чисел (можно и дробные, и отрицательные), так чтобы каждое равнялось

а) сумме двух своих соседей?

б) половине суммы двух своих соседей?

в) произведению двух своих соседей?

Если можно – приведите пример. Если нельзя – объясните почему. (См. дальше!)

г) На доске написано в ряд сто чисел. Известно, что каждое, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним. Первое число 7. Какое число последнее?

д) Сколько чисел может быть в кругу в задачах а), б), в)? Почему?

 

Задания 4 надо выполнить всем!

Задание 4. Падение башни из кубиков.

Если аккуратно уронить башню из кубиков на достаточно большое горизонтальное поле, то кубики будут раскатываться довольно характерным образом: расстояния между кубиками хорошо повторяются от падения к падению.

а) Определите уравнение, которое описывает расстояния между кубиками (или от первого кубика до каждого другого).

б) Проверьте, сохраняется ли его вид при изменении поверхности, на которую падают кубики (например, твердый пол/ковер).

в) Предложите гипотезу, объясняющую вид уравнения, описывающего расстояние между кубиками.

Удобнее всего использовать небольшие деревянные кубики с ребром 4-7 см. Кубиков должно быть не меньше девяти (лучше больше). Для большей повторяемости следует аккуратно и плавно поворачивать нижний кубик вокруг горизонтальной оси, пока вся конструкция не упадет. Можно использовать другие одинаковые объекты с примерно равными шириной-высотой-глубиной, например, большие гайки, но это значительно усложняет проведение эксперимента.

График на компьютере и на бумаге равноценны.